sábado, 27 de junio de 2009

Iteración

Iteración es la repetición de una secuencia de instrucciones o eventos.

Ejemplo de iteración geométrica:
Dado un segmento, por construcción y utilizando regla y compás podemos encontrar el punto medio de dicho segmento.
Si cada uno de estos dos segmentos se divide en dos segmentos por su punto medio, obtendremos un total de cuatro segmentos.
Si continuamos el proceso, obtendremos sucesivamente 8, 16,.. segmentos.
¿En un segmento hay infinitos puntos?.

Ejemplo de iteración áritmética:
Escogemos un número entero positivo: x (llamado semilla o número inicial).
a) Si dicho número es impar calculamos 3x+1.
b) Si es par calculamos x/2.
De esta forma obtenemos un nuevo número y volvemos a aplicar a) o b).
Se aplica esta iteración hasta que lleguemos a 1.
¿Para cualquier semilla o número inicial el proceso termina en 1, o habrá por el contrario algún número inicial que no conduce a 1 y se opera indefinidamente?.

Suma

Las sumas que siguen forman una serie:
S=1
S=1+3
S=1+3+5
S=1+3+5+7
..
En la construcción de la figura tenemos la suma S=1+3+5+7, con cuatro filas.
¿Sabrías dar una fórmula general que exprese todas las sumas posibles sabiendo el número de filas?
Responde a lo siguiente:
Si hay una fila, ¿cuántos puntos hay?
Si hay dos filas, ¿cuántos puntos?
Si hay tres filas,...
..
Si hay n filas, ¿cuántos puntos hay?

En dos segmentos

En dos segmentos hay la misma cantidad de puntos.
En la figura se muestran dos segmentos verticales: segmento a y segmento b.
Para ver que tienen la misma "cantidad" (en este caso infinita) de puntos a cada punto X del segmento a le asociamos un punto Y del segmento b. Y viceversa, a cada punto Y del segmento b le corresponde un punto X del segmento a.
Primero es obtenemos el punto A trazando las rectas que pasan por los extremos de los dos segmentos. La intersección de esas dos rectas es el punto A
Para cualquier punto X podemos trazar la recta que pasa por A y X, dicha recta pasará por un punto del segmento b, lo llamamos Y.
Viceversa, si nos dan un punto Y, trazando la recta que pasa por A y por Y, obtenemos un punto en el segmento a que los llamamos X.
A cada punto del segmento a le corresponde uno del segmento b, y viceversa, luego: hay tantos puntos en el segmento a como en segmento b.

Nos preguntamos, ¿hay la misma "cantidad" de puntos en un segmento que en una recta?

Una fórmula resuelve infinitos problemas

El poder del álgebra se refleja en las fórmulas.
Una fórmula sintetiza la solución de infinitos problemas.
Como ejemplo mostramos en la figura dos situaciones de los llamados números triángulares:
puntos=6
puntos=10
Si tuvieramos 20 filas, ¿cuántos puntos obtendríamos?
Y si 50 filas..
Si conocemos la relación entre puntos y filas: puntos=filas(filas+1)/2
¿Cuál sería ahora la respuesta a las preguntas anteriores?
Con esta fórmula, ¿qué preguntas podríamos responder?
¿Cuántos problemas podremos resolver?



jueves, 25 de junio de 2009

Una suma infinita

¿Cuánto es el resultado de la suma: S=1-1+1-1+1-1...?

Veamos un posible valor: S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+..=0+0+0+..=0

Otro posible valor: S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)...=1+0+0+0+...=1

¿Podría dar -1?¿De que manera?

Geometría fractal



La geometría fractal se ocupa del estudio de aquellas formas que presentan, dicho en términos llanos, dos características fundamentales:
  • Una gran rugosidad.
  • Autosimilitud, propiedad que consiste en que la forma del objeto presenta el mismo aspecto al ser observada a distintas escalas.
Un ejemplo típico de fractal natural es la hoja de helecho: si cogemos una de sus partes y la ampliamos, nos encontraremos con la misma forma inicial. A partir de esta parte ampliada podemos repetir de nuevo la ampliación..

¿Es una recta un fractal?¿Y un círculo?

La paradoja de Zenón de Elea

Una paradoja es una declaración en apariencia verdadera que conlleva a una autocontradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común.
Hay frases paradójicas, como las que siguen:
- "Yo antes era muy indeciso, ahora no estoy tan seguro"
- "No existen frases de seis palabras"
- "Cuando se te queda la mente en blanco lo ves todo negro"
- "El mundo esta loco por culpa de los cuerdos"

Zenón propuso varias paradojas, una de ellas habla de que Aquiles (fue el más importante de los héroes griegos de la guerra de Troya) nunca alcanzará a la tortuga.

"El guerrero Aquiles el de los pies veloces decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.”

El sentido común dice que Aquiles si alcanzará a la tortuga, a pesar de este razonamiento.
¿Dónde está la verdad?¿Aquiles alcanza o no a la tortuga?

Paralogismo

Un paralogismo es un razonamiento falso, que se plantea sin una voluntad de engaño. Del mundo del álgebra mostramos un ejemplo.

La suma: S=1+2+4+8+16+..., está formada por términos positivos, luego el resultado no puede ser negativo.

La suma anterior se puede expresar:

S =1+2(1+2+4++8+16+...)

Es decir: S=1+2S

Resolviendo nos da: S=-1

Por tanto: S es negativo

¿Dónde está el error?

lunes, 22 de junio de 2009

El vigilante


Una ciudad modernista fue diseñada para que su crecimiento siga un patrón geométrico como el de la figura, donde las líneas son calles y zonas encerrados por caminos son o parques o manzanas de casas.

¿Cuál sería el recorrido de las calles para un vigilante de seguridad?

Si las calles menores miden 50 metros entre dos intersecciones, ¿cuál será el tamaño de recorrido?

Hay que responder para los tres casos que se visualizan y para los sucesivos ante posibles crecimientos de la modernista ciudad.

Cuento de nunca acabar..

BARTOLO

Bartolo tenía una flauta
con un agujero solo,
y su madre le decía:
toca la flauta Bartolo

tenía una flauta
con un agujero solo,
y su madre le decía:
toca la flauta Bartolo

tenía una flauta...

UN ELEFANTE

Un elefante se balanceaba
sobre la tela de una araña
Como veía que no se caía
fue a buscar otro elefante.

Dos elefantes se balanceaban
sobre la tela de una araña
Como veían que no se caían
Fueron a buscar otro elefante

Tres elefantes se balanceaban
sobre la tela de una araña
Como veían que no se caían
fueron a buscar otro elefante,
etc, etc.......

domingo, 21 de junio de 2009

El número más grande

Utilizando dos 3 y las operaciones:suma, resta, producto, división y potencia, ¿cuál es el número más grande construible?.
¿Cuál sería el más grande con tres 3?.
¿Cuál sería el más grande con cuatro 3?.
..
¿Sabríamos sacar una recurrencia de construcción?

Definición circular


En programación un bucle o ciclo es una sentencia que se realiza repetidas veces a un trozo aislado de código, hasta que la condición asignada a dicho bucle deje de cumplirse.

Una definición circular es una definición que supone una comprensión anterior del término que es definido. Por ejemplo, podemos definir el "almendro" como un árbol que crece a partir de una almendra, y después definimos la "almendra" como la nuez producida por un nogal. La definición es bastante inútil para quién no sepa que es un almendro y una almendra.

Una definición circular se ocupó como definición temprana del kilogramo. El kilogramo fue definido originalmente como la masa de un litro de agua a la presión estándar y la temperatura en la cual es más densa (que está sobre 4°C). La unidad de la presión es el newton por metro cuadrado, donde está la fuerza un newton que acelera un kilogramo un metro por segundo cuadrado. Así el kilogramo fue definido en términos de sí mismo. Fue definido más adelante como la masa de cierto pedazo de metal en Sèvres.

Una definición circular también se utilizó en la definición clásica de la muerte que era "la cesación permanente del flujo de líquidos corporales vitales", a lo cual alguien puede preguntar "¿qué hace un líquido vital?".

Hay definiciones correctas que no son circulares sino recursivas. Por ejemplo, el factorial de n es igual a n multiplicado por el factorial de n - 1. La circularidad termina cuando se dice que el factorial de 1 es 1.

¿Habría una definición recursiva de 5 elevado a n?

¿Qué es una recurrencia?


Un proceso repetible, de tal forma que cada nuevo resultado se obtiene de los resultados anteriores y puede aplicarse indefinidamente

Muy conocida es la recurrencia de Fibonacci, Leonardo de Pisa (1170 - 1250), es una sucesión numérica que forma parte de un problema que aparece en su libro Liber Abaci.

"Imaginemos una pareja de conejos, macho y hembra, encerrados en un campo donde pueden anidar y criar. Supongamos que los conejos empiezan a procrear a los dos meses de vida, engendrando siempre un único par macho-hembra, y a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes un par más de iguales características. Admitiendo que no muriese ninguno de los conejitos, ¿cuántos pares contendría el cercado al cabo de un año?".

La sucesivas generaciones en número de parejas de conejos sería:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,..
Para obtener el siguiente resultado se suman los dos anteriores.

Si encadenamos arcos rectos cuyos radios coinciden con los números de la recurrencia obtenemos una espiral como la de la figura que aparece en el mundo animal en la concha del nautilus (un género de moluscos cefalópodos del que sobreviven hoy en día cuatro especies.).

sábado, 20 de junio de 2009

Ideas que nos sugieren el infinito

Sísifo, personaje de la mitología, hizo enfadar a los dioses por su extraordinaria astucia. Como castigo, fue condenado a empujar perpetuamente un peñasco gigante montaña arriba hasta la cima, sólo para que volviese a caer rodando hasta el valle, y así indefinidamente.

La idea de eterno retorno se refiere a un concepto circular de la historia o los acontecimientos. La historia no sería lineal, sino cíclica. Una vez cumplido un ciclo de hechos, estos vuelven a ocurrir con otras circunstancias, pero siendo, básicamente, semejantes.

El teorema de la recurrencia de Henri Poincaré propone que un sistema con una cantidad finita de energía y confinado en un volumen espacial finito, retornará tras un tiempo lo suficientemente largo a un estado arbitrariamente próximo a su estado inicial.

El ciclo celular es un conjunto ordenado de eventos que conducen al crecimiento de la célula y la división en dos células hijas.

La reencarnación es la creencia según la cual el alma (mente, consciencia, energía), después de la muerte, se separa del cuerpo y toma otro cuerpo para continuar otra vida mortal. Según esta creencia, las almas pasan por ciclos de muertes y nuevas encarnaciones. La creencia en la reencarnación ha estado presente en toda la humanidad desde la antigüedad, en las religiones egipcia, griega, hindú, budista y romana.

Del triángulo al círculo


Un triángulo regular inscrito en un círculo es una parte del círculo que genera tres arcos iguales. Si dividimos en dos partes iguales cada uno de los arcos, podemos obtener un hexágono regular.
Cada hexágono divide a la circunferencia en 6 arcos iguales. Obteniendo cada uno de los puntos medios de estos arcos, obtenemos un dodecágono, es decir un polígono regular de 12 lados.
Dividiendo de esta manera podemos obtener un polígono regular de 24 lados,..

Si seguimos indefinidamente, ¿cuál es la figura final?

¿Cuántas diagonales?


Nos preguntamos ¿cuántas diagonales tiene un polígono regular?.
Un triángulo tiene 0 diagonales.
Un cuadrado tiene 2 diagonales.
Un pentágono tiene 5 diagonales.
¿Cómo sigue la serie?.
¿Cuántas tiene un polígono de n lados?.

Un círculo es el resultado de aumentar indefinidamente el número de lados a un polígono regular.
¿Tiene diagonales el círculo?

lunes, 15 de junio de 2009

Método válido para infinitos casos


Se dice que fue Gauss quien, a una temprana edad y concretamente antes de que desarrollara cognitivamente los procesos formales (según Piaget), descubrió cómo sumar S=1+2+3+..+100 haciendo una multiplicación y una división.
Podemos ser más ambicioso si buscamos un método para sumar:

S=1+2+3+...+n para cualquier número natural n

En la gráfica podemos ver un método para sumar: S=1+2+3+4+5

¿Sabríamos generalizar el método para cualquier otro final que no sea 5?

Es decir, sabríamos calcular:
S=1+2+3+4+5+6
S=1+2+3+4+5+6+7
..
S=1+2+3+...+100

sábado, 13 de junio de 2009

La suma de infinitos números


En uno de los múltiples libros matemáticas, de cuyo nombre no alcanzo a diferenciar, aparecía la suma que sigue, afirmando que era 2.

¿Cómo se puede aclarar esta cuestión?

viernes, 12 de junio de 2009

Usando la calculadora


Escribe un número en la calculadora, luego calcula su raíz cuadrada. Al resultado, reitera el cálculo de la raíz cuadrada, al nuevo resultado aplica de nuevo la raíz cuadrada,..

¿Cuál sería el resultado de reiterar indefinidamente la operación raíz cuadrada?

Afirmaciones


Si calculamos 1 elevado a infinito, podremos afirmar que es 1.

Si calculamos 5 elevado a infinito, ¿cuál es us última cifra?.

Si calculamos 2 elevado a infinito, ¿cuál es us última cifra?. ¿Podremos afirmar que no es un número impar?. ¿Podremos afirmar que es 4?

Las taquillas


En un centro virtual de enseñanza infantil de infinitos alumnos ocurre el siguiente proceso al incio de curso:
1. Todos los alumnos se ponen en fila, están ordenados y cada uno tienen un número de orden.
2. Hay una taquilla por cada alumno también ordenadas y cada una con un número de orden.
3. Las taquillas tienen dos estados, es decir, pueden estar abiertas o cerradas.
4. Cuando entran y pasan por las taquillas realizan una operación sin adjetivos:
a) El número 1 abre todas taquillas.
b) El número 2 cambia de estado las casillas pares.
c) El número 3 cambia de estado las taquillas múltiplos de 3.
..
¿Qué casillas quedan abiertas?

lunes, 8 de junio de 2009

Números capicúas infinitos


Existen números decimales de infinitas cifras, periódicos como: 2,233333.., también números decimales de infinitas cifras aperiódicos como: 3,12112111211112..
¿Existen números naturales de infinitas cifras capicúas?
Por ejemplo, siguiendo la serie: 1, 11, 111, 1111, 11111, .. ¿nos conduce a un número natural de infinitas cifras capicúa?.

domingo, 7 de junio de 2009

La escalera infinita

Suponiendo que el cuadrado inicial tiene una unidad de lado. Se va formando la escalera de forma que cada vez tiene el doble de peldaños, cada dos nuevos peldaños se obtiene de uno de la situación anterior. Continuando doblando indefinidadmente, ¿cuál sería el perímetro de la figura obtenida?.

viernes, 5 de junio de 2009

Infinitos trapecios



Un rectángulo se puede dividir en cuatro rectangulos más pequeños pero semejantes al padre. Cada nuevo rectángulo se puede dividir en cuatro nuevos, y así erre que erre.
¿Sabrías dividir la siguiente figura en infinitas partes de modo que cada una de sus partes sea idéntica a su original?

Libros de Adrián Paenza: Matemática.. ¿Estás ahí?

Ya van tres, pero si sigue así pueden llegar a infinito. Puedes descargar gratuitamente el libro titulado: "Matemática.. ¿Estás ahí?. Episodio 3,14159.. de Adrián Paenza en formato pdf y si te falta el episodio 1 o el 2 , bájalos de aquí: Episodio1 y Episodio 2.

Uno de lógica


Si sólo una de estas 3 frases es cierta:
A) Tengo infinitas razones.
B) Tengo un número finito de razones.
C) Tengo al menos 1 razón.
¿Cuántas razones tengo?
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