Una sucesión especial

Considérese la sucesión: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... ¿Cuál sería el número que ocupa la posición 20?.¿Y el de la posición 300?¿Y el 5000?..
¿Qué posición de orden ocupa el número 250?

Espiral Infinita

En la siguiente figura, la longitud del lado vertical de la izquierda es 1, y cada lado consecutivo es de longitud 3/4 del lado anterior.

¿Cuánto mide el segundo lado?¿y el tercero?¿y el cuarto?..

¿Cuál es la longitud total de los infinitos lados?

Números cuadrados y triangulares

En la figura se muestran los primeros términos de dos sucesiones conocidas, la de los números cuadrados (1, 4, 9, 16,...) y la de los números triángulares(1, 3, 6, 10, ..).

¿Sabrías obtener 3 términos más de los que aparecen en el dibujo?

La suma de dos números triangulares sucesivos es un cuadrado, ¿esto se cumple siempre o hay un contraejemplo?

El triángulo de área máxima

Consideremos el rectángulo de la figura, la base es de 8 unidades y la altura es de 4 unidades.
De los infinitos puntos del segmento CD, escogemos un punto A y dibujamos el triángulo con la base del rectángulo como se ve en la figura.
¿Cuál sería la posición de A para que el área del triángulo sea máxima?

No se hace matemáticas. si no se justifica la respuesta suficientemente.
Recomendamos usar Geogebra en caso de que no se vea la solución.

Escalera apoyada

Consideremos una escalera de longitud 7 apoyada entre la pared y el suelo.
La región intermedia es un triángulo cuya área se puede calcular multiplicando la base por la altura y dividiendo por dos.
El punto de apoyo en el suelo (punto D) puede ocupar las infinitas posiciones entre la posición vertical de la escalera (punto B) y la posición horizontal (punto C).

¿Cuál debe ser la posición de apoyo en el suelo (punto D) para que el área del triángulo sea máxima?
Recomendamos usar Geogebra para realizar primero la construcción y luego la búsqueda del punto que produce el área máxima.