Considérese la sucesión: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... ¿Cuál sería el número que ocupa la posición 20?.¿Y el de la posición 300?¿Y el 5000?..
¿Qué posición de orden ocupa el número 250?
jueves, 9 de julio de 2009
Espiral Infinita
En la siguiente figura, la longitud del lado vertical de la izquierda es 1, y cada lado consecutivo es de longitud 3/4 del lado anterior. ¿Cuánto mide el segundo lado?¿y el tercero?¿y el cuarto?..
¿Cuál es la longitud total de los infinitos lados?
miércoles, 8 de julio de 2009
Números cuadrados y triangulares
En la figura se muestran los primeros términos de dos sucesiones conocidas, la de los números cuadrados (1, 4, 9, 16,...) y la de los números triángulares(1, 3, 6, 10, ..).
¿Sabrías obtener 3 términos más de los que aparecen en el dibujo?
La suma de dos números triangulares sucesivos es un cuadrado, ¿esto se cumple siempre o hay un contraejemplo?
El triángulo de área máxima
Consideremos el rectángulo de la figura, la base es de 8 unidades y la altura es de 4 unidades.De los infinitos puntos del segmento CD, escogemos un punto A y dibujamos el triángulo con la base del rectángulo como se ve en la figura.
¿Cuál sería la posición de A para que el área del triángulo sea máxima?
No se hace matemáticas. si no se justifica la respuesta suficientemente.
Recomendamos usar Geogebra en caso de que no se vea la solución.
Escalera apoyada
Consideremos una escalera de longitud 7 apoyada entre la pared y el suelo.La región intermedia es un triángulo cuya área se puede calcular multiplicando la base por la altura y dividiendo por dos.
El punto de apoyo en el suelo (punto D) puede ocupar las infinitas posiciones entre la posición vertical de la escalera (punto B) y la posición horizontal (punto C).
¿Cuál debe ser la posición de apoyo en el suelo (punto D) para que el área del triángulo sea máxima?
Recomendamos usar Geogebra para realizar primero la construcción y luego la búsqueda del punto que produce el área máxima.
Fracciones y números decimales
Todas las fracciones se pueden convertir en números decimales.
1/2=0,50000..
5/4=1,25000..
2/3=0,66666..
..
Los resultados son, a la vista de los ejemplos, o números exactos o números decimales periódicos.
Si consideramos el cero como una forma más de periodicidad, podemos afirmar:"A toda fracción le corresponde un número decimal periódico"
¿Cómo justificamos esta afirmación?. ¿Existirá algún contraejemplo?
El conjunto de fracciones se llaman también números racionales porque provienen de una razón de dos números enteros.
Hay otra pregunta, ¿dado un número decimal periódico, podríamos encontrar una fracción que lo genere?.
Veamos un procedimiento que apoya el sí:
x=0,83333..
Multiplicamos por 10:
10x=8,3333...
Multiplicamos por 10:
100x=83,3333...
Restando las dos últimas:
100x-10x=83,3333.. -8,3333..
Las partes decimales son iguales
90x=83-8
Es decir: 90x=75, por tanto: x=75/90
De esta manera partiendo de un número decimal periódico hemos obtenido una fracción.
¿Sabrías obtener la fracción generatriz del número: 6,4515151..?
1/2=0,50000..
5/4=1,25000..
2/3=0,66666..
..
Los resultados son, a la vista de los ejemplos, o números exactos o números decimales periódicos.
Si consideramos el cero como una forma más de periodicidad, podemos afirmar:"A toda fracción le corresponde un número decimal periódico"
¿Cómo justificamos esta afirmación?. ¿Existirá algún contraejemplo?
El conjunto de fracciones se llaman también números racionales porque provienen de una razón de dos números enteros.
Hay otra pregunta, ¿dado un número decimal periódico, podríamos encontrar una fracción que lo genere?.
Veamos un procedimiento que apoya el sí:
x=0,83333..
Multiplicamos por 10:
10x=8,3333...
Multiplicamos por 10:
100x=83,3333...
Restando las dos últimas:
100x-10x=83,3333.. -8,3333..
Las partes decimales son iguales
90x=83-8
Es decir: 90x=75, por tanto: x=75/90
De esta manera partiendo de un número decimal periódico hemos obtenido una fracción.
¿Sabrías obtener la fracción generatriz del número: 6,4515151..?
sábado, 4 de julio de 2009
Coste de un algoritmo
Un algoritmo es el conjunto de operaciones y procedimientos que deben seguirse para resolver un problema.
En la entrada anterior sobre: ¿Cuántos números primos hay?, proponíamos una forma de averiguar si un número es o no primo, averiguando los divisores que tiene. Por ejemplo para saber si 5877 es primo, hacemos las divisiones por 1, 2, 3, 4, 5, ...5877. de esta manera sabremos cuántos divisores tiene y por tanto si es primo o no.
A medida que el número crece el tiempo invertido en averiguar si es primo o no es mayor.
Supongamos que en una división invertimos 1 segundo. Para averiguar si 5877 es primo según el algoritmo anterior emplearíamos 5877 segundos=97,95 minutos=1,63 horas
Para averiguar saber los divisores que tiene 1.000.000, emplearíamos:
1.000.000 segundos =16.666minutos =277horas =11,5 días.
Habrá números que necesitemos más de 100 años, otros más de 1000 años, e incluso habrá números que necesitemos más de 15.ooo millones de años que es la edad estimada del universo.
Costaría mucho tiempo averiguar el número de divisores que tiene un número.
¿Hay otro algoritmo mejor para conocer los divisores de un número?
Esta pregunta es fundamental en programación de ordenadores. ¿Cómo mejorar un algoritmo? es decir, ¿Cómo reducir el tiempo en la resolución de un problema?
Una forma de mejorar el algoritmo de averiguar los divisores de un número, es realizando las divisiones hasta la raiz cuadrada del número: si a un número se le conoce un divisor, se puede averiguar otro divisor asociado sin mas que dividir. Por ejemplo: 9 divide a 36 el asociado a 9 es 4, ya que 36=9.4
Si un divisor es menor que la raiz cuadrada el asociado será mayor. Averiguando los menores o iguales que la raiz sabremos los mayores.
En este nuevo algoritmo el coste será en tiempo la raiz cuadrada.
Para 1.000.000 emplearíamos raiz(1.000.000)=1.000 seg =16,67 minutos y no 11,5 días.
En la entrada anterior sobre: ¿Cuántos números primos hay?, proponíamos una forma de averiguar si un número es o no primo, averiguando los divisores que tiene. Por ejemplo para saber si 5877 es primo, hacemos las divisiones por 1, 2, 3, 4, 5, ...5877. de esta manera sabremos cuántos divisores tiene y por tanto si es primo o no.
A medida que el número crece el tiempo invertido en averiguar si es primo o no es mayor.
Supongamos que en una división invertimos 1 segundo. Para averiguar si 5877 es primo según el algoritmo anterior emplearíamos 5877 segundos=97,95 minutos=1,63 horas
Para averiguar saber los divisores que tiene 1.000.000, emplearíamos:
1.000.000 segundos =16.666minutos =277horas =11,5 días.
Habrá números que necesitemos más de 100 años, otros más de 1000 años, e incluso habrá números que necesitemos más de 15.ooo millones de años que es la edad estimada del universo.
Costaría mucho tiempo averiguar el número de divisores que tiene un número.
¿Hay otro algoritmo mejor para conocer los divisores de un número?
Esta pregunta es fundamental en programación de ordenadores. ¿Cómo mejorar un algoritmo? es decir, ¿Cómo reducir el tiempo en la resolución de un problema?
Una forma de mejorar el algoritmo de averiguar los divisores de un número, es realizando las divisiones hasta la raiz cuadrada del número: si a un número se le conoce un divisor, se puede averiguar otro divisor asociado sin mas que dividir. Por ejemplo: 9 divide a 36 el asociado a 9 es 4, ya que 36=9.4
Si un divisor es menor que la raiz cuadrada el asociado será mayor. Averiguando los menores o iguales que la raiz sabremos los mayores.
En este nuevo algoritmo el coste será en tiempo la raiz cuadrada.
Para 1.000.000 emplearíamos raiz(1.000.000)=1.000 seg =16,67 minutos y no 11,5 días.
¿Cuántos números primos hay?
¿Podemos hacer una lista de los números primos?
Un número es primo si tiene exactamente dos divisores: el mismo y la unidad.
Por tanto el primer número primo: p1=2
El segundo: p2=3
El tercero: p3=5
El cuarto: p4=7
..
Esta lista ¿la prodríamos continuar?.
De cualquier número podemos averiguar si es primo o no. Por ejemplo, para saber si el número 3597 es primo, podemos dividirlo por 1,2,3,4,5,..3597. Después de estas divisiones podemos saber cuantos divisores tiene y por tanto si es primo o no lo es.
La cuestión que se plantea ahora, ¿cuántos números primos hay? y más concretamente, ¿hay un número finito de números primos o por el contrario un número infinito. ¿Encontraremos un último número primo?
La primera demostración de que hay un número infinito de números primos se debe a Euclides:
Euclides demostró que el conjunto de todos los números primos es infinito.
En su demostración realizó un razonamiento por reducción al absurdo. Supuso que el conjunto de los números primos era finito y llegó a una contradicción.
El razonamiento que siguió fue el siguiente:
Supongamos que el conjunto de los números primos es finito con n elementos:
P1, P2, ...,Pn
Definamos un número Q de la siguiente forma:
Q =P1* P2*...*Pn+1
Q es el producto de todos los números primos más 1.
Si dividimos Q por cualquiera de los primos del conjunto vemos que el resto es 1. Es decir, Q no tiene como divisor a ninguno de estos primos.
Si Q fuese primo habríamos encontrado un elemento más del conjunto de los números primos y no hay más. Por tanto, Q no es primo y debe tener algún divisor primo, algo que hemos visto que es imposible porque la división por cualquier número primo siempre da resto 1.
En el razonamiento se llega a una contradicción que sólo puede ser causada por un mala hipótesis de partida: el conjunto de los números primos es finito.
Podemos afirmar con total seguridad que el conjunto de los números primos es infinito.
Este método de demostrar una afirmación como:el conjunto de los números primos es infinito, se llama reducción al absurdo. La reducción al absurdo es uno de los métodos más usados para hacer demostraciones matemáticas. La idea es suponer que la afirmaciónque queremos demostrar es falsa:el conjunto de los números primos es finito y a partir de esta suposición, usando deducciones matemáticas, llegar a una contradicción o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposición inicial es necesariamente cierta.
Un número es primo si tiene exactamente dos divisores: el mismo y la unidad.
Por tanto el primer número primo: p1=2
El segundo: p2=3
El tercero: p3=5
El cuarto: p4=7
..
Esta lista ¿la prodríamos continuar?.
De cualquier número podemos averiguar si es primo o no. Por ejemplo, para saber si el número 3597 es primo, podemos dividirlo por 1,2,3,4,5,..3597. Después de estas divisiones podemos saber cuantos divisores tiene y por tanto si es primo o no lo es.
La cuestión que se plantea ahora, ¿cuántos números primos hay? y más concretamente, ¿hay un número finito de números primos o por el contrario un número infinito. ¿Encontraremos un último número primo?
La primera demostración de que hay un número infinito de números primos se debe a Euclides:
Euclides demostró que el conjunto de todos los números primos es infinito.
En su demostración realizó un razonamiento por reducción al absurdo. Supuso que el conjunto de los números primos era finito y llegó a una contradicción.
El razonamiento que siguió fue el siguiente:
Supongamos que el conjunto de los números primos es finito con n elementos:
P1, P2, ...,Pn
Definamos un número Q de la siguiente forma:
Q =P1* P2*...*Pn+1
Q es el producto de todos los números primos más 1.
Si dividimos Q por cualquiera de los primos del conjunto vemos que el resto es 1. Es decir, Q no tiene como divisor a ninguno de estos primos.
Si Q fuese primo habríamos encontrado un elemento más del conjunto de los números primos y no hay más. Por tanto, Q no es primo y debe tener algún divisor primo, algo que hemos visto que es imposible porque la división por cualquier número primo siempre da resto 1.
En el razonamiento se llega a una contradicción que sólo puede ser causada por un mala hipótesis de partida: el conjunto de los números primos es finito.
Podemos afirmar con total seguridad que el conjunto de los números primos es infinito.
Este método de demostrar una afirmación como:el conjunto de los números primos es infinito, se llama reducción al absurdo. La reducción al absurdo es uno de los métodos más usados para hacer demostraciones matemáticas. La idea es suponer que la afirmaciónque queremos demostrar es falsa:el conjunto de los números primos es finito y a partir de esta suposición, usando deducciones matemáticas, llegar a una contradicción o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposición inicial es necesariamente cierta.
viernes, 3 de julio de 2009
El cuadrado de un número
Sobre las afirmaciones siguientes sobre un número infinito de números, ¿podemos afirmar que son ciertas o falsas? ¿cómo podemos justificar nuestro convencimiento?
1) El cuadrado de un número par es un número par.
2) El cuadrado de un número impar es siempre impar.
Para demostrar que no son ciertas, basta con encontrar un contraejemplo. Sin embargo, cómo podemos demostrar o justificar que son ciertas.
1) El cuadrado de un número par es un número par.
2) El cuadrado de un número impar es siempre impar.
Para demostrar que no son ciertas, basta con encontrar un contraejemplo. Sin embargo, cómo podemos demostrar o justificar que son ciertas.
Contraejemplo
Los números naturales son: 1,2,3,4,5,6,....
Los números pares son: 2,4,6,8,10,12,..., es decir, todos los naturales que al divirdlos por 2 da resto nulo.
Los números impares son:1,3,5,7,9,11,..., es decir, todos los naturales que al dividirlos por 2 da resto 1.
Desde el punto de vista de la lógica, afirmaciones como: "Todos los números impares son primos"; no es cierta porque el número 9 es impar pero no es primo.
Cuando se quiere demostrar que una afirmación que habla de muchos elementos no es cierta, basta con encontrar un ejemplo que no cumpla tal afirmación, este ejemplo se llama contraejemplo.
Buscar un contrajemplo a las siguientes afirmaciones:
1. La suma de dos números impares es impar
2. La suma de una número par y otro impar es par.
3. No hay números pares superior al 2 elevado a 64.
4. La suma de dos cuadrados es un cuadrado.
Los números pares son: 2,4,6,8,10,12,..., es decir, todos los naturales que al divirdlos por 2 da resto nulo.
Los números impares son:1,3,5,7,9,11,..., es decir, todos los naturales que al dividirlos por 2 da resto 1.
Desde el punto de vista de la lógica, afirmaciones como: "Todos los números impares son primos"; no es cierta porque el número 9 es impar pero no es primo.
Cuando se quiere demostrar que una afirmación que habla de muchos elementos no es cierta, basta con encontrar un ejemplo que no cumpla tal afirmación, este ejemplo se llama contraejemplo.
Buscar un contrajemplo a las siguientes afirmaciones:
1. La suma de dos números impares es impar
2. La suma de una número par y otro impar es par.
3. No hay números pares superior al 2 elevado a 64.
4. La suma de dos cuadrados es un cuadrado.
miércoles, 1 de julio de 2009
El hotel de David Hilbert
El hotel de Hilbet (matemático alemán) tiene infinitas habitaciones. Cada habitación tiene un altavoz a través del cual el recepcionista del hotel (todo un portento de amabilidad) se comunica simultaneamente con todas las habitaciones. Las habitaciones se numeran sucesivamente: 1, 2, 3,..
Tan pronto se abrió el hotel, se llenó de huéspedes (infinitos) y por tanto las habitaciones se ocuparon todas.
1. Llega un nuevo huesped, bastante cansado y pide una habitación. El recepcionista lo recibió y le comunicó que aunque todas las habitaciones están ocupadas, le puede hacer un hueco. ¿Cómo consiguió darle habitación al nuevo huesped?.
2. En otro momento llegó un autobús de 50 personas excursionistas que querían alojarse en el hotel. El recepcionista les pide calma, pensó como ubicarlos, y también lo consiguió. ¿Cómo lo hizo?
3. Más tarde llegó un tren de Hilbert con infinitos pasajeros. El recpcionista también consiguió darles habitación. ¿Cómo lo logró?
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