¿Cuántos números primos hay?

¿Podemos hacer una lista de los números primos?
Un número es primo si tiene exactamente dos divisores: el mismo y la unidad.
Por tanto el primer número primo: p1=2
El segundo: p2=3
El tercero: p3=5
El cuarto: p4=7
..
Esta lista ¿la prodríamos continuar?.
De cualquier número podemos averiguar si es primo o no. Por ejemplo, para saber si el número 3597 es primo, podemos dividirlo por 1,2,3,4,5,..3597. Después de estas divisiones podemos saber cuantos divisores tiene y por tanto si es primo o no lo es.

La cuestión que se plantea ahora, ¿cuántos números primos hay? y más concretamente, ¿hay un número finito de números primos o por el contrario un número infinito. ¿Encontraremos un último número primo?

La primera demostración de que hay un número infinito de números primos se debe a Euclides:

Euclides demostró que el conjunto de todos los números primos es infinito.
En su demostración realizó un razonamiento por reducción al absurdo. Supuso que el conjunto de los números primos era finito y llegó a una contradicción.
El razonamiento que siguió fue el siguiente:
Supongamos que el conjunto de los números primos es finito con n elementos:
P1, P2, ...,Pn
Definamos un número Q de la siguiente forma:
Q =P1* P2*...*Pn+1
Q es el producto de todos los números primos más 1.
Si dividimos Q por cualquiera de los primos del conjunto vemos que el resto es 1. Es decir, Q no tiene como divisor a ninguno de estos primos.
Si Q fuese primo habríamos encontrado un elemento más del conjunto de los números primos y no hay más. Por tanto, Q no es primo y debe tener algún divisor primo, algo que hemos visto que es imposible porque la división por cualquier número primo siempre da resto 1.
En el razonamiento se llega a una contradicción que sólo puede ser causada por un mala hipótesis de partida: el conjunto de los números primos es finito.
Podemos afirmar con total seguridad que el conjunto de los números primos es infinito.


Este método de demostrar una afirmación como:el conjunto de los números primos es infinito, se llama reducción al absurdo. La reducción al absurdo es uno de los métodos más usados para hacer demostraciones matemáticas. La idea es suponer que la afirmaciónque queremos demostrar es falsa:el conjunto de los números primos es finito y a partir de esta suposición, usando deducciones matemáticas, llegar a una contradicción o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposición inicial es necesariamente cierta.